answer:Для решения этой задачи используется принцип Архимеда или закон сохранения массы. Объем вытесненной жидкости равен объему погруженной в неё детали, и провоцирует повышение уровня воды в сосуде. Изначально объем воды в сосуде составляет 2100 см³ и имеет уровень 70 см. После погружения детали уровень воды поднялся на 12 см, что значит уровень теперь составляет 70 см + 12 см = 82 см. Объем жидкости также увеличивается на объем погруженной детали. Объем цилиндра рассчитывается по формуле: [ V = Sh ] где ( S ) — площадь основания цилиндра, а ( h ) — высота цилиндра. Поскольку сосуд имеет форму цилиндра и площадь его основания остается постоянной, объем воды в сосуде до погружения детали ( V_1 ) и после ( V_2 ) связаны с высотами следующим образом: [ V_1 = S cdot 70 см, ] [ V_2 = S cdot 82 см. ] Поскольку ( V_1 ) известно и равно 2100 см³, можно выразить площадь основания сосуда через ( V_1 ) и высоту: [ S = V_1 / 70 см. ] Теперь найдем объем воды в сосуде после погружения детали ( V_2 ), используя новую высоту: [ V_2 = (V_1 / 70 см) cdot 82 см. ] Затем найдем объем детали. Объем детали ( V_{text{детали}} ) — это разница между объемом воды в сосуде после и до погружения детали: [ V_{text{детали}} = V_2 - V_1. ] Подставим выражение для ( V_2 ) и ( V_1 ): [ V_{text{детали}} = (V_1 / 70 см) cdot 82 см - V_1. ] [ V_{text{детали}} = V_1 cdot (82 / 70) - V_1. ] [ V_{text{детали}} = V_1 cdot (12 / 70). ] Теперь подставим значение ( V_1 = 2100 см³ ) и рассчитаем ( V_{text{детали}} ): [ V_{text{детали}} = 2100 см³ cdot (12 / 70). ] [ V_{text{детали}} = 2100 см³ cdot (6 / 35). ] [ V_{text{детали}} = 2100 см³ cdot (6 / 35). ] [ V_{text{детали}} = 2100 см³ / 35 cdot 6. ] [ V_{text{детали}} = 60 см³ cdot 6. ] [ V_{text{детали}} = 360 см³. ] Таким образом, объем погруженной детали равен 360 см³.

answer:Объем цилиндрического сосуда ( V ) определяется по формуле: [ V = pi r^2 h, ] где ( r ) — радиус основания цилиндра, а ( h ) — высота цилиндра (уровень жидкости в данном случае). Если радиус второго сосуда в 4 раза больше радиуса первого, тогда его диаметр тоже в 4 раза больше, следовательно, его радиус: [ r_2 = 4r_1. ] Объем жидкости остается неизменным при переливании из одного сосуда в другой, поэтому мы можем приравнять объемы жидкости в обоих сосудах: [ pi r_1^2 h_1 = pi r_2^2 h_2, ] где ( h_1 ) — начальная высота жидкости в первом сосуде (72 см), ( h_2 ) — искомая высота жидкости во втором сосуде. Отменяя ( pi ) и подставляя ( r_2 = 4r_1 ): [ r_1^2 h_1 = (4r_1)^2 h_2, ] [ r_1^2 cdot 72 = 16r_1^2 cdot h_2, ] [ 72 = 16 cdot h_2, ] [ h_2 = frac{72}{16}, ] [ h_2 = 4.5 см. ] Уровень жидкости во втором сосуде будет находиться на высоте 4.5 см.

answer:Объем цилиндра можно вычислить по формуле: [ V = pi r^2 h, ] где ( V ) — объем цилиндра, ( r ) — радиус основания и ( h ) — высота цилиндра. Пусть радиус первой кружки равен ( r ), а высота — ( h ). Тогда её объем ( V_1 ) будет: [ V_1 = pi r^2 h. ] Вторая кружка в шесть раз шире первой, что означает, что диаметр второй кружки в шесть раз больше диаметра первой. Так как диаметр равен двум радиусам, радиус второй кружки будет в три раза больше радиуса первой: [ r_2 = 3r. ] Первая кружка втрое выше второй, поэтому высота второй кружки будет втрое меньше высоты первой: [ h_2 = frac{h}{3}. ] Объем второй кружки ( V_2 ) теперь можно вычислить следующим образом: [ V_2 = pi r_2^2 h_2. ] Подставим значения для ( r_2 ) и ( h_2 ): [ V_2 = pi (3r)^2 left(frac{h}{3}right) = pi 9r^2 left(frac{h}{3}right) = pi 3r^2 h = 3V_1. ] Теперь найдем отношение объема второй кружки к объему первой: [ frac{V_2}{V_1} = frac{3V_1}{V_1} = 3. ] Итак, отношение объема второй кружки к объему первой равно 3:1.

answer:Если прямоугольник вращается вокруг своей большей стороны, то меньшая сторона становится высотой цилиндра ( h ), а большая сторона становится длиной окружности основания цилиндра. В данном случае большая сторона прямоугольника ( L = 8 ) см, а меньшая сторона ( h = 7 ) см. Длина окружности основания цилиндра (периметр прямоугольника) равна диаметру основания, умноженному на ( pi ): [ L = pi d, ] [ d = frac{L}{pi}, ] где ( d ) — диаметр основания цилиндра. Таким образом, радиус ( r ) основания цилиндра равен половине диаметра: [ r = frac{d}{2}, ] [ r = frac{L}{2pi}. ] Теперь мы можем найти объем ( V ) и полную поверхность ( S ) цилиндра: Объем ( V ) цилиндра рассчитывается по формуле: [ V = pi r^2 h, ] [ V = pi left(frac{L}{2pi}right)^2 h, ] [ V = frac{L^2 h}{4pi}. ] Расчет: [ r = frac{8 text{ см}}{2pi}, ] [ r = frac{4}{pi} text{ см}, ] [ V = frac{64 cdot 7}{4pi} text{ см}^3, ] [ V = frac{448}{4pi} text{ см}^3, ] [ V = frac{112}{pi} text{ см}^3. ] Полная поверхность ( S ) цилиндра включает боковую поверхность и поверхности двух оснований. Так как основания закрыты, то полная поверхность будет состоять только из боковой поверхности: [ S_{бок} = 2pi r h, ] [ S_{бок} = 2pi left(frac{L}{2pi}right) h, ] [ S = L h. ] Расчет: [ S = 8 text{ см} cdot 7 text{ см}, ] [ S = 56 text{ см}^2. ] Таким образом, объем ( V ) цилиндра равен ( frac{112}{pi} text{ см}^3 ), а полная поверхность ( S ) цилиндра равна ( 56 text{ см}^2 ).